Question

15．已知函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$+alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．

Answer 1

分析 （1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为$g（x）=\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[2，3]上单调递减即可求得结果；
（2）根据题意，将$|\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）-f′（{x}_{2}）}\end{array}|$写成$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|•|\begin{array}{l}{2+\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}}\end{array}|$，利用不等式的性质证明$|\begin{array}{l}{2+\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}}\end{array}|＞1$，所以$|\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）-f′（{x}_{2}）}\end{array}|$＞$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|$，即得$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|＞1$．

解答 解：（1）由$f（x）={x}^{2}+\frac{2}{x}+alnx$，得$f′（x）=2x-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$．
因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以$f′（x）=2x-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$≥0在[2，3]上恒成立，
即$a≥\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[2，3]上恒成立，
设$g（x）=\frac{2}{x}-2{x}^{2}$，则$g′（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}-4x＜0$，
所以g（x）在[2，3]上单调递减，
故g（x）_max=g（2）=-7，
所以a≥-7；
（2）对于任意两个不相等的正数x₁、x₂有
${x}_{1}{x}_{2}+\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞${x}_{1}{x}_{2}+\frac{4}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$
=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}+\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$
$≥3\root{3}{{x}_{1}{x}_{2}×\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}×\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}}$
=$3\root{3}{4}＞4.5＞a$，
∴$|\begin{array}{l}{2+\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}}\end{array}|＞1$，
而$f′（x）=2x-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$，
∴$|\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）-f′（{x}_{2}）}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{（2{x}_{1}-\frac{2}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{a}{{x}_{1}}）-（2{x}_{2}-\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}+\frac{a}{{x}_{2}}）}\end{array}|$
=$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|•|\begin{array}{l}{2+\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}}\end{array}|$＞$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|$，
故：$|\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）-f′（{x}_{2}）}\end{array}|$＞$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|$，即$|\begin{array}{l}{\frac{f′（{x}_{1}）-f′（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}}\end{array}|$＞1，
∴当a≤4时，$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|＞1$．

点评 本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．