Question

2．已知（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0，
（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x．y．z成等比数列；
（2）若正数a，y，z依次成等比数列且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的通项公式和定义即可证明x．y．z成等比数列；
（2）根据正数a，y，z依次成等比数列且公比不为1，结合对数的运算法则进行化简即可．

解答 证明：（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，设公差为d，
则（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0，
等价为-dlog_mx+2dlog_my-dlog_mz=0，
即log_mx+log_mz=2log_my，
即log_mxz=log_my²，
故xz=y²，
故x，y，z成等比数列；
（2）若正数x，y，z依次成等比数列且公比不为1，设公比为q，
则y=xq，z=xq²，
则由（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0
得b（log_mx-log_mz）+c（log_my-log_mx）+a（log_mz-log_my）=0
即b（log_m$\frac{x}{z}$）+c（log_m$\frac{y}{x}$）+a（log_m$\frac{z}{y}$）=0，
即b（log_m$\frac{x}{x{q}^{2}}$）+c（log_m$\frac{xq}{x}$）+a（log_m$\frac{x{q}^{2}}{xq}$）=0，
则b（log_mq^-2）+c（log_mq）+a（log_mq）=0，
即（-2b+c+a）log_mq=0，
则a+c=2b，
即a，b，c成等差数列．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的判断，结合对数的运算法则是解决本题的关键．