Question

18．已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递增，求ω的取值范围．
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性，可得ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范围．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，从而求得函数g（x）的零点．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0，若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递增，
则ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，求得ω≤$\frac{3}{4}$，即ω的取值范围为（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得函数y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象，
令g（x）=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈z，
求得x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故函数g（x）的零点为x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．