Question

11．在无穷数列{a_n}中，a₁=1，对于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，且a_n＜a_n+1．设集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，将集合A_m中的元素的最大值记为b_m，即b_m是数列{a_n}中满足不等式a_n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b_n}为数列{a_n}的伴随数列．
例如：数列{a_n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b_n}是1，1，2，3，…．
（Ⅰ）设数列{a_n}是1，4，5，…，请写出{a_n}的伴随数列{b_n}的前5项；
（Ⅱ）设a_n=3^n-1（n∈N^*），求数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前20项和；
（Ⅲ）设a_n=3n-2（n∈N^*），求数列{a_n}的伴随数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由{a_n}伴随数列{b_n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．
（II）由a_n=3^n-1≤m，可得n≤1+log₃m，m∈N^*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N^*，b₁=b₂=1；当3≤m≤8时，m∈N^*，b₃=b₄=…=b₈=2；当9≤m≤20时，m∈N^*，b₉=b₁₀=…=3；即可得出数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前20项和；
（III）由a_n=3n-2≤m，解得n$≤\frac{m+2}{3}$，可得不等式a_n≤m成立的最大值为b_m，因此b₁=b₂=b₃=1，b₄=b₅=b₆=2，…，b_3n-2+b_3n-1+b_3n=t（t∈N^*），
分类讨论：当n=3t-2时，当n=3t-1时，当n=3t时，即可得出．

解答 解：（I）由{a_n}伴随数列{b_n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．
（II）由a_n=3^n-1≤m，可得n≤1+log₃m，m∈N^*，
∴当1≤m≤2时，m∈N^*，b₁=b₂=1；
当3≤m≤8时，m∈N^*，b₃=b₄=…=b₈=2；
当9≤m≤20时，m∈N^*，b₉=b₁₀=…=3；
∴数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前20项和=1×2+2×6+3×12=50；
（III）由a_n=3n-2≤m，解得n$≤\frac{m+2}{3}$，
∵不等式a_n≤m成立的最大值为b_m，
∴b₁=b₂=b₃=1，b₄=b₅=b₆=2，…，b_3n-2+b_3n-1+b_3n=t（t∈N^*），
∴当n=3t-2时，（t∈N^*），S_n=$3×\frac{1+（t-1）}{2}$（t-1）+t=$\frac{3{t}^{2}-t}{2}$=$\frac{1}{6}（n+1）（n+2）$；
当n=3t-1时，（t∈N^*），S_n=$3×\frac{1+（t-1）}{2}（t-1）+2t$=$\frac{3{t}^{2}+t}{2}$=$\frac{1}{6}（n+1）（n+2）$；
当n=3t时，（t∈N^*），S_n=$3×\frac{1+t}{2}×t$=$\frac{3（{t}^{2}+t）}{2}$=$\frac{1}{6}n（n+3）$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）（n+2）}{6}，（n=3t-2或3t-1）}\\{\frac{n（n+3）}{6}，（n=3t）}\end{array}\right.$（t∈N^*）．

点评 本题考查了新定义“伴随数列”、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．