Question

3．设f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，则a的取值范围为0＜a≤1．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由f（x）为R上的单调函数，可知导函数在（0，+∞）大于等于0（或小于等于0）恒成立，然后转化为二次函数恒成立问题求得a的取值范围．

解答 解：由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，得${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
∵f（x）为R上的单调函数，
∴${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$≥0对任意实数x恒成立①，
或${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$≤0对任意实数x恒成立②，
由①得，e^x（ax²-2ax+1）≥0对任意实数x恒成立，
∵a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2a）^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤1．
由②得，e^x（ax²-2ax+1）≤0对任意实数x恒成立，
∵a＞0，∴满足e^x（ax²-2ax+1）≤0对任意实数x恒成立的a不存在．
综上，a的取值范围为0＜a≤1．
故答案为：0＜a≤1．

点评 本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．