Question

18．已知函数f（x）=x³-ax-1，
（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知先求f′（x）=3x²-3，令3x-3=0 得：x=±1，通过讨论f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的单调性．
（2）有f′（x）=3x²-a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，可得a≤3x²在（1，+∞）恒成立，从而解得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3．
令 3x²-3=0 得 x=±1
当 x＞1 或 x＜-1 时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1 时，f′（x）＜0．
因此 f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为增函数，f（x） 在 （-1，1）上为减函数．
（2）因为f′（x）=3x²-a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，
所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x²-a≥0在（1，+∞）恒成立，
所以a≤3x²在（1，+∞）恒成立，
即a≤3．
故a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，属于中档题．