Question

6．已知函数g（x）=x（x+1），f（x）=x²+2x+1+aln（x+1）在x=1处有极值．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828）

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x），因为函数在x=1处有极值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
把a的值代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值，在函数的自变量的范围中令导函数大于0，求出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0，求出x的范围即为函数的减区间；
（2）根据1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]时，f（x）_min=f（e-1），让m²+tm+e²-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化简后令g（t）=m²+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，求出m的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+2（x+1）．
由f′（1）=0，可得$\frac{a}{2}$+4=0，解得a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，
所以a=-8；
f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，
f′（x）=$\frac{-8}{x+1}$+2（x+1）=$\frac{2（x-1）（x+3）}{x+1}$．
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]时，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+mt-6，⇒g（-1）≤0，g（1）≤0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-6≤0}\\{{m}^{2}-m-6≤0}\end{array}\right.$，
解得-2≤m≤2为所求．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取的条件．