Question

7．已知抛物线C：y²=2px的焦点为F，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于M、N两点，若线段MN中点纵坐标为4，则该抛物线准线方程为（　　）

• A． x=1
• B． x=-1
• C． x=2
• D． x=-2

Answer 1

分析 先假设M，N的坐标，根据M，N满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减，根据直线的斜率和线段MN的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．

解答 解：设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因为直线的斜率为1，所以$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
所以有y₁+y₂=2p，
又线段MN的中点的纵坐标为4，
即y₁+y₂=8，所以p=4，
所以抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$即x=-2．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要是抛物线的方程的运用，同时考查点差法解决中点弦问题，属于中档题．