Question

11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥$\sqrt{3}$d，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，3]
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b，|FB|=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，利用|FB|≥$\sqrt{3}$d，可得a，c的关系，即可得出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b，|FB|=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
因为|FB|≥$\sqrt{3}$d，
所以$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$≥$\sqrt{3}$b，
所以c²≥2c²-2a²，
所以2a²≥c²，
所以1＜e≤$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线离心率的取值范围，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．