Question

12．设α为锐角，若sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，求sin（2α+$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 由已知可求cos（α+$\frac{π}{6}$），从而由倍角公式可求sin（2α+$\frac{π}{3}$），cos（2α+$\frac{π}{3}$），由sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{4}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$即可求值．

解答 解：∵α为锐角，即α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴（α+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
又sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），故α+$\frac{π}{6}$不能为（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）中的角，
∴（α+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin[2（α+$\frac{π}{6}$）]=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos[2（α+$\frac{π}{6}$）]=2cos²（α+$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{4}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$=（$\frac{24}{25}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．