Question

2．若直线mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0（m＞0，n＞0）经过抛物线y²=4x的焦点，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0），代入直线方程mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0，可得：m+$\frac{n}{2}$=1．再利用“乘1法”与基本不等式即可得出最小值．

解答 解：由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0），
代入直线方程mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0，
可得：m+$\frac{n}{2}$=1．
又m＞0，n＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+$\frac{n}{2}$）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{2m}$
≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{2m}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当n=$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$-2，取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了抛物线的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题和易错题．