Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且$|{QF}|=\frac{5}{4}|{PQ}|$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M（4，0）的直线l与C相交于A，B两点，若$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，求直线l的方程﹒

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Q（x₀，4），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）设A，B的坐标，运用向量共线的坐标表示，设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，消去x，运用韦达定理，联立方程即可解得m，进而得到直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设Q（x₀，4），代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{8}{p}$，
所以$|{PQ}|=\frac{8}{p}，|{QF}|=\frac{p}{2}+{x_0}=\frac{p}{2}+\frac{8}{p}$，
由题设得$\frac{p}{2}+\frac{8}{p}=\frac{5}{4}×\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，得$（4-\frac{{{y_1}^2}}{4}，-{y_1}）=\frac{1}{2}（-4+\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
所以${y_1}=-\frac{y_2}{2}$，①
设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+4}\end{array}}\right.$，消去x得y²-4my-16=0，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}{y_2}=-16}\\{{y_1}+{y_2}=4m}\end{array}}\right.$②
由①②联立，解得${y_1}=-2\sqrt{2}$，${y_2}=4\sqrt{2}$，$m=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$﹒
或${y_1}=2\sqrt{2}$，${y_2}=-4\sqrt{2}$，$m=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故所求直线l的方程为$2x-\sqrt{2}y-8=0$或$2x+\sqrt{2}y-8=0$﹒

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．