Question

5．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线，被抛物线所截得的弦长为6．
（1）求直线方程；              
（2）求抛物线方程．

Answer 1

分析 依题意，设抛物线方程为y²=2px，可求得过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-$\frac{1}{2}$p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y²=-2px时的结果．

解答 解：依题意，设抛物线方程为y²=2px，焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
则直线方程为y=x-$\frac{1}{2}$p．
设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$，
即x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=6．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去y，得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∵△=9p²-4×$\frac{{p}^{2}}{4}$=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
将其代入①得p=$\frac{3}{2}$，
∴所求抛物线方程为y²=3x．
当抛物线方程设为y²=-2px（p＞0）时，
同理可求得抛物线方程为y²=-3x．
则有（1）直线方程为y=x±$\frac{3}{4}$；
（2）抛物线方程为y²=3x或y²=-3x．

点评 本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义得应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题．