Question

17．抛物线y²=8x的焦点是F，倾斜角为45°的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8$\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设AB方程为y=x+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答 解：设AB方程为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，消去y得：x²+（2b-8）x+b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=8-2b，x₁•x₂=b²．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2（8-2b）^{2}-4{b}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
解得：b=-3．
∴直线方程为y=x-3．即：x-y-3=0．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．