Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*）
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）•$\frac{n}{{2}^{n}}$•a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{31}{8}$成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子变形可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是$\frac{3}{2}$为首项3为公比的等比数列，由等比数列的通项公式易得a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$；
（2）可得b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，进而由错位相减法可得T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，可化原不等式为n的指数不等式，解不等式可得n的取值范围，可得答案．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+3}{an}$=1+$\frac{3}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+$\frac{3}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
又$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是$\frac{3}{2}$为首项3为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×3ⁿ，∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$；
（2）由（1）b_n=（3ⁿ-1）•$\frac{n}{{2}^{n}}$•a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，①，
①×$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，②，
①-②可得$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴不等式T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{31}{8}$可化为4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$＞$\frac{31}{8}$，
整理可得$\frac{1}{{2}^{n-2}}$＜$\frac{1}{8}$，解得n＞5
∴使原不等式成立的正整数n的最小值为6．

点评 本题考查等比数列的判定，和错位相减法求和以及指数的运算，属中档题．