Question

3．已知直线l：y=kx+3-k与双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{5}$-1）∪（$\sqrt{5}$-1，+∞）
• B． （-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1）
• C． [-$\sqrt{5}$-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{5}-1$]
• D． [-$\sqrt{5}-1$，$\sqrt{5}-1$]

Answer 1

分析 直线l：y=kx+3-k代入双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用判别式大于等于0，即可求出实数k的取值范围．

解答 解：直线l：y=kx+3-k代入双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
整理可得（3-4k²）x²-8k（3-k）x-4（3-k）²-12=0，
∵直线l：y=kx+3-k与双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有交点，
∴△=[-8k（3-k）]²-4（3-4k²）[-4（3-k）²-12]≥0，
∴8k⁴-24k³+9k²+18≥0，
∴-$\sqrt{5}-1$≤k≤$\sqrt{5}-1$，
故选：D．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查求实数k的取值范围，正确利用判别式是关键．