Question

8．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），与椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$相交于AB两点，F（-1，0），则|FA|•|FB|的最大值为3．

Answer 1

分析 由椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，把直线l方程代入椭圆方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，可得t₁t₂，利用|FA|•|FB|=-t₁t₂，及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：由椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入椭圆方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
∴|FA|•|FB|=-t₁t₂=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$≤$\frac{9}{3}$=3，
∴|FA|•|FB|的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、参数的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．