Question

4．解关于x的不等式$\sqrt{{x}^{2}-4mx+4{m}^{2}}$＞m+3．

Answer 1

分析 配方可化原不等式为$\sqrt{（x-2m）^{2}}$＞m+3，当m+3＜0时易得解集为R；当m+3=0时易得解集为{x|x≠-6}；当m+3＞0时，分解因式比较大小可得不等式的解集为{x|x＜m-3或x＞3（m+1）}

解答 解：配方可化原不等式为$\sqrt{（x-2m）^{2}}$＞m+3，
当m+3＜0，即m＜-3时，不等式的解集为R；
当m+3=0，即m=-3时，原不等式可化为$\sqrt{（x+6）^{2}}$＞0，
可得不等式的解集为{x|x≠-6}；
当m+3＞0，即m＞-3时，原不等式可化为（x-2m）²＞（m+3）²，
变形可得x²-4mx+3m²-6m-9＞0，即[x-（m-3）][x-3（m+1）]＞0，
∵m-3-3（m+1）=-2m-6＜0，∴m-3＜3（m+1），
∴不等式的解集为{x|x＜m-3或x＞3（m+1）}

点评 本题考查含参数不等式的解法，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．