Question

12．已知实数p＞0，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数）上的点A（2，m），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+6cosθ}\\{y=6sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的圆心为点B，A、B两点间的距离等于圆C₂的半径，则p=8．

Answer 1

分析 由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数），可得y²=2px，把点A（2，m）代入可得：m²=4p，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+6cosθ}\\{y=6sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$（x-\frac{p}{2}）^{2}+{y}^{2}$=36，可得圆心点B，半径r．利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用A、B两点间的距离等于圆C₂的半径，即可解出．

解答 解：由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数），可得y²=2px，把点A（2，m）代入可得：m²=4p，
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+6cosθ}\\{y=6sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$（x-\frac{p}{2}）^{2}+{y}^{2}$=36，圆心点B$（\frac{p}{2}，0）$，半径r=6．
|AB|=$\sqrt{（2-\frac{p}{2}）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{（2-\frac{p}{2}）^{2}+4p}$=$\sqrt{4+2p+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
∵A、B两点间的距离等于圆C₂的半径，
∴$\sqrt{4+2p+\frac{{p}^{2}}{4}}$=6，
解得p=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、两点之间的距离公式、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．