Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若OQ=4，OP=$\sqrt{5}$，PQ=$\sqrt{13}$．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，3]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，$\frac{T}{4}$的长度，由此推理出三角函数的解析式；
（2）由题意先求出g（x），h（x）的函数解析式，由x的范围求出$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$的范围，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求出其函数值域．

解答 解：（1）由条件知cos∠POQ=$\frac{{4}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}{2×4×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以P（1，2）．  （2分）
由此可得振幅A=2，周期T=4×（4-1）=12，又$\frac{2π}{ω}$=12，则ω=$\frac{π}{6}$．
将点P（1，2）代入f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+φ），得sin（$\frac{π}{6}$x+φ）=1，
因为0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，于是f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）．             （6分）
（2）由题意可得g（x）=2sin[$\frac{π}{6}$（x-2）+$\frac{π}{3}$]=2sin$\frac{π}{6}$x．
所以h（x）=f（x）•g（x）=4sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{6}$x=2sin²$\frac{π}{6}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$x•cos$\frac{π}{6}$x=1-cos$\frac{π}{3}$x+$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$x=1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．                       （9分）
当x∈[0，3]时，$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，所以sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈[0，3]．
于是函数h（x）的值域为[0，3]．        （12分）

点评 本题主要考查了三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，考查了求解三角函数的值域，关注自变量x的取值范围是解题的关键，属于中档题．