Question

11．已知m，n∈R₊，求证：$\frac{m+n}{2}$≥$\root{m+n}{{m}^{n}{n}^{m}}$．

Answer 1

分析 构造函数y=lnx，运用二次求导，判断函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，即有$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln（$\frac{m}{m+n}$•n+$\frac{n}{m+n}$•m），化简整理，再由$\frac{m+n}{2}$与$\frac{2mn}{m+n}$作差比较，即可得证．

解答 证明：构造函数y=lnx，
则y′=$\frac{1}{x}$，（$\frac{1}{x}$）′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
即有函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，
由m，n＞0，且$\frac{m}{m+n}$+$\frac{n}{m+n}$=1，
则$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln（$\frac{m}{m+n}$•n+$\frac{n}{m+n}$•m）
=ln$\frac{2mn}{m+n}$，
而$\frac{m+n}{2}$-$\frac{2mn}{m+n}$=$\frac{（m+n）^{2}-4mn}{2（m+n）}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2（m+n）}$≥0，
即有ln$\frac{2mn}{m+n}$≤ln$\frac{m+n}{2}$，
则有$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln$\frac{m+n}{2}$，
即有$\frac{m+n}{2}$≥$\root{m+n}{{m}^{n}{n}^{m}}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查构造函数运用函数的单调性和凹凸性证明，属于中档题．