Question

2．曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线与直线x=0和y=x围成的三角形的面积为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=x求出切线与它们的交点坐标，再代入面积公式求解．

解答 解：∵y=x（3lnx+1），
∴y′=3lnx+4，
∴曲线在点（1，1）处的切线斜率k=4，
∴切线方程为：y-1=4（x-1），
即y=4x-3，
令x=0得，y=-3；令y=x得，x=1，
∴在点（1，1）处的切线与直线x=0和y=x
围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力，求出切线方程是关键．