Question

19．已知直线与向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）垂直，且与抛物线y²=4x交于A、B两点，若AB的中点在双曲线x²-y²=8，求直线的方程．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件可得直线的斜率为2，设直线方程为y=2x+t，代入抛物线方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式，求得AB的中点，代入双曲线方程，解得即可．

解答 解：由直线与向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）垂直，
则直线的方向向量为（1，2），即有斜率为2，
设直线方程为y=2x+t，
代入抛物线方程y²=4x，
可得4x²+（4t-4）x+t²=0，
判别式（4t-4）²-16t²＞0，解得t＜$\frac{1}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=1-t，
则AB的中点的横坐标为$\frac{1-t}{2}$，
即有y=1-t+t=1，
即有AB中点为（$\frac{1-t}{2}$，1），
代入双曲线方程x²-y²=8，
即有（$\frac{1-t}{2}$）²-1²=8，
解得t=-5或7（舍去）．
则所求直线为y=2x-5．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件和中点坐标公式，属于中档题．