Question

13．把下列参数方程转化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$（t为参数）
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=cos2θ+1}\end{array}\right.$（θ为参数）
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数）
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）

Answer 1

分析 （1）x=3-2t两边乘以2减去y=-1-4t即可得出；
（2）利用倍角公式可得y=2x²（x∈[-1，1]），表示抛物线的一部分；
（3）两式相加可得x+y=2t，两式相减可得x-y=$\frac{2}{t}$，再相乘可得x²-y²=4，表示等轴双曲线；
（4）利用sin²φ+cos²φ=1，可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示焦点在x轴上的椭圆．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$（t为参数），化为2x-y-7=0，表示一条直线；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=cos2θ+1}\end{array}\right.$（θ为参数），∵y=2cos²θ，∴y=2x²（x∈[-1，1]），表示抛物线的一部分；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），两式相加可得x+y=2t，两式相减可得x-y=$\frac{2}{t}$，∴x²-y²=4，表示等轴双曲线；
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用sin²φ+cos²φ=1，可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示焦点在x轴上的椭圆．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、圆锥曲线的定义及其标准方程，考查了计算能力，属于基础题．