Question

12．已知函数f（x）满足f（x）-f（-x）+4x=0且当x＞0时，f′（x）-x+2＜0，则不等式f（x）-f（1-x）+3x-$\frac{3}{2}$＞0解集为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 首先利用题中的已知条件建立不等式，进一步利用函数的单调性求出结果．

解答 解：∵f（x）-f（-x）+4x=0，
∴f′（x）+f′（-x）+4=0．
∵当x＞0时，f′（x）-x+2＜0，-x＜0，
∴f′（-x）+x+2＜0，
即f′（-x）＜-x-2＜-2．
所以：f′（1-x）＜-2，
令F（x）=f（x）-f（1-x）+3x-$\frac{3}{2}$，
则F′（x）=f′（x）+f′（1-x）+3＜-2-2+3=-1＜0，
故F（x）为减函数．
由于F（$\frac{1}{2}$）=0，
故有F（x）＞0=F（$\frac{1}{2}$），
可得x＜$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查的知识要点：导数在不等式解法中的应用，利用函数的单调性求不等式的解集．