Question

10．数列{a_n}与{b_n}满足：①a₁=a＜0，b₁=b＞0，②当k≥2时，若a_k-1+b_k-1≥0，则a_k=a_k-1，b_k=$\frac{{a}_{k-1}+{b}_{k-1}}{2}$；若a_k-1+b_k-1＜0，则a_k=$\frac{{a}_{k-1}+{b}_{k-1}}{2}$，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a=-1，b=1，求a₂，b₂，a₃，b₃的值；
（Ⅱ）设S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n），求S_n（用a，b表示）；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b_k-1＞b_k，求n的最大值（用a，b表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可直接写出答案；
（Ⅱ）分情况计算b_k-a_k，得{b_k-a_k}是以b₁-a₁=b-a为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，从而可得S_n；
（Ⅲ）由b_k-1＞b_k，数列{a_n}与{b_n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a_k=a，结合（Ⅱ）知$a+a+（b-a）（\frac{1}{2}）^{k-2}≥0$，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）a₂=-1，b₂=0，a₃=$-\frac{1}{2}$，b₃=0；
（Ⅱ）∵$\frac{{a}_{k-1}+{b}_{k-1}}{2}-{a}_{k-1}$=$\frac{{b}_{k-1}-{a}_{k-1}}{2}$，${b}_{k-1}-\frac{{a}_{k-1}+{b}_{k-1}}{2}$=$\frac{{b}_{k-1}-{a}_{k-1}}{2}$，
∴无论是a_k-1+b_k-1≥0，还是a_k-1+b_k-1＜0，都有b_k-a_k=$\frac{{b}_{k-1}-{a}_{k-1}}{2}$，
即{b_k-a_k}是以b₁-a₁=b-a为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=$2（b-a）（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$；
（Ⅲ）∵b_k-1＞b_k，及数列{a_n}与{b_n}满足的关系，
∴a_k-1+b_k-1≥0，∴a_k=a_k-1，
即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a_k=a，
由（Ⅱ）知b_k-a_k=$（b-a）（\frac{1}{2}）^{k-1}$，∴b_k=a+$（b-a）（\frac{1}{2}）^{k-1}$，
所以a_k-1+b_k-1=$a+a+（b-a）（\frac{1}{2}）^{k-2}≥0$，解得$k≤2+lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-2a}{b-a}$，
所以n的最大值为不超过$2+lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-2a}{b-a}$的最大整数．

点评 本题考查数列中递推关系，以及解指数不等式，考查学生对数学知识的应用能力，属于中档题．