Question

5．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿
FD折成一个60°的二面角．
（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求二面角E-CD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；
（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E-CD-F的平面角．代入数据计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，
又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．
又CE?平面ABF，AB?平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；
（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，
在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，
在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．
∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．
又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，
∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，
又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，
从而∠EIH为二面角E-CD-F的平面角．
设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，
由于∠EGC为二面角C-FD-E的平面角，即∠EGC=60°，
所以在△CEG中，HG=CH=$\frac{1}{2}$，EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HI=CHsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以EI=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，所以cos∠EIH=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．