Question

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左顶点为A₁，右焦点为F₂，过点F₂作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A₁M的斜率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△A₁MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为$\frac{5}{7}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，得到点M的坐标，然后，代入，得到$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}=\frac{1}{2}$，从而确定其斜率关系；
（Ⅱ）首先，得到A₁（-2c，0）$M（c，\frac{3c}{2}）$，然后，可以设外接圆圆心设为P（x₀，0），结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意$M（c，\frac{b^2}{a}）$-------------（1分）
因为A₁（-a，0），所以$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}=\frac{1}{2}$-------------（2分）
将b²=a²-c²代入上式并整理得$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$（或a=2c）----------（3分）
所以$e=\frac{1}{2}$------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，$b=\sqrt{3}c$（或$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$）------------（5分）
所以A₁（-2c，0）$M（c，\frac{3c}{2}）$，外接圆圆心设为P（x₀，0）
由|PA₁|=|PM|，得$\sqrt{{{（{x_0}+2c）}^2}}=\sqrt{{{（{x_0}-c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}$------------（6分）
解得：${x_0}=-\frac{c}{8}$------------（7分）
所以${k_{PM}}=\frac{{\frac{3c}{2}}}{{c+\frac{c}{8}}}=\frac{4}{3}$------------（8分）
所以△A₁MN外接圆在M处切线斜率为$-\frac{3}{4}$，设该切线与椭圆另一交点为C
则切线MC方程为$y-\frac{3c}{2}=-\frac{3}{4}（x-c）$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9c}{4}$------------（9分）
与椭圆方程3x²+4y²=12c²联立得7x²-18cx+11c²=0------------（10分）
解得${x_1}=c，{x_2}=\frac{11c}{7}$------------（11分）
由弦长公式$|{MC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$得$\sqrt{1+{{（{-\frac{3}{4}}）}^2}}|c-\frac{11c}{7}|=\frac{5}{7}$------------（12分）
解得c=1------------（13分）
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$------------（14分）

点评 本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．