Question

12．已知f（x）=e^x-xe^x-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：当x＞-1，且x≠0时，g（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数f（x）的极值；
（II）当x＞0时，当-1＜x＜0时，当-1＜x＜0时，利用第一问、或者构造函数分别证明不等式．

解答 解：（I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	0	↘

∴当x=0时，函数f（x）取极大值f（0）=0，没有极小值；…（4分）
（II）当x＞0时，由（I）知，f（x）＜0，从而$g（x）=\frac{f（x）}{x}＜0＜1$；…（6分）
当-1＜x＜0时，g（x）＜1等价于f（x）＞x，
设h（x）=f（x）-x，则h′（x）=-xe^x-1，…（8分）
∵-1＜x＜0，∴0＜-xe^x＜1，h′（x）=-xe^x-1＜0，
∴h（x）在（-1，0）是减函数，
当-1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞x，从而g（x）＜1；
因此当x＞-1，且x≠0时，g（x）＜1．…（12分）

点评 本题考查函数的单调性与极值的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．