Question

6．已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若{b_n }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若{a_n}是等差数列，且a_n≠0，问：{b_n}是否是等比数列？若是，求{a_n}和{b_n}的通项公式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）再写一式，两式相减得a_nb_n=n•2ⁿ，利用{b_n }是首项为1，公比为2的等比数列，可得b_n=2^n-1，所以a_n=2n，即可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{（n+1）•{2^{n+1}}}}{{{a_1}+nd}}•\frac{{{a_1}+nd-d}}{{n•{2^n}}}$，分类讨论可得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
则n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
两式相减，得a_nb_n=n•2ⁿ（n≥2），
当n=1时，a₁b₁=2，满足上式，所以a_nb_n=n•2ⁿ（n∈N^*），
又因为{b_n }是首项为1，公比为2的等比数列，则b_n=2^n-1，所以a_n=2n，
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$．（6分）
（Ⅱ）设{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{{n•{2^n}}}{{{a_1}+（n-1）d}}$，（7分）
则$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{（n+1）•{2^{n+1}}}}{{{a_1}+nd}}•\frac{{{a_1}+nd-d}}{{n•{2^n}}}$（8分）
=$\frac{{2（n+1）（{a_1}+nd-d）}}{{n（{a_1}+nd）}}$=$2•\frac{{n（{a_1}+nd）+{a_1}+nd-nd-d}}{{n（{a_1}+nd）}}$=$2[1+\frac{{{a_1}-d}}{{n（{a_1}+nd）}}]$．
故当d=a₁时，数列{b_n}是等比数列，公比为2，此时a_n=na₁，${b_n}=\frac{2^n}{a_1}$；（10分）
当d≠a₁时，数列{b_n}不是等比数列．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．