Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b+c}{cosB+cosC}$
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合已知整理可得：sin（A-B）=sin（C-A），即可解得角A的大小；
（2）由余弦定理结合已知可得b²+c²-bc=9，既有bc=$\frac{（b+c）^{2}-9}{3}≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$，从而可求b+c的最大值．

解答 （本题满分15分）
解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴由$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b+c}{cosB+cosC}$得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$，
整理可得：sinAcosB-cosAsinB=sinCcosA-cosCsinA，
既有：sin（A-B）=sin（C-A），
∴A-B=C-A或A-B+C-A=π（不合题意，舍去），
即2A=B+C，又A+B+C=π
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²-bc=9，
即：（b+c）²-3bc=9，
所以bc=$\frac{（b+c）^{2}-9}{3}≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$，
解得b+c≤6，
当且仅当b=c=3时，b+c有最大值6．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．