Question

4．已知命题p：已知实数a，b，则ab＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，命题q在曲线y=cosx上存在斜率为$\sqrt{2}$的切线，则下列判断正确的是（　　）

• A． p是假命题
• B． q是真命题
• C． p∧（￢q）是真命题
• D． （￢p）∧q是真命题

Answer 1

分析 根据ab＞0，则a，b同号，及充分必要条件的定义可得p真；函数在切点处的导数等于过该点的切线斜率即可判断出q是假命题，所以C正确．

解答 解：根据ab＞0，则a，b同号，结合充分必要条件的定义可得，
则ab＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，命题p是真命题；
根据“在切点处的导数值即为切线斜率”，
设切点为（x₀，cosx₀），过该点的切线斜率为k，
由y′=-sinx，k=-sinx₀≠$\sqrt{2}$，即：
不存在x₀∈R，使-sinx₀=$\sqrt{2}$，
则命题q为假命题；
即有￢q为真命题．
则有p∧（￢q）是真命题，
故选C．

点评 本题考查充分必要条件的定义，函数在切点处的导数值等于过该点的切线斜率，以及￢q，p∧q真假和p，q真假的关系．