Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ；
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}成等差数列．
（2）根据（1）的结论，求a_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ，两边同除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$；
（2）根据等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}成等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
（2）解：根据（1）可得：${a}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．