Question

18．直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针旋转到OQ，使∠POQ=α，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）．
（Ⅰ）若P的横坐标为$\frac{3}{5}$，求$\frac{y}{x}$；
（Ⅱ）求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的定义，求出sinα，转化$\frac{y}{x}$为正切函数的形式，求解即可；
（Ⅱ）表示出x+y的三角函数的形式，然后求解取值范围．

解答 解：直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针旋转到OQ，使∠POQ=α，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）．
（Ⅰ）若P的横坐标为$\frac{3}{5}$，则sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，
$\frac{y}{x}$=tan2α=$\frac{2tanα}{1-{tan}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-\frac{16}{9}}$=-$\frac{24}{7}$；
（Ⅱ）x+y=cos2α+sin2α=$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$），$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]
x+y的取值范围（-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数的定义，二倍角公式的应用，三角函数的化简求值．