Question

18．已知三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，且μ+2λ=1，则球O的表面积为81π．

Answer 1

分析 确定球心在PH上，由PH⊥AB，PH⊥AC，则$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，对$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，两边取点乘向量AB，向量AC，向量AH，以及两边平方，运用向量的数量积的性质，计算即可得到半径R，再由球的表面积公式计算即可得到．

解答 解：由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，
O为球心，OA=OB=OC=OP=R，
即有PH⊥AB，PH⊥AC，
$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
由$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，①
则有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AB}$|•$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，
即32=64λ+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，②
同理对①两边取点乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，③
又μ+2λ=1④
由②③④解得，λ=$\frac{9}{20}$（$\frac{1}{2}$舍去），μ=$\frac{1}{10}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=32，
即有$\overrightarrow{AO}$=$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$．
即有$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AH}$=$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$$•\overrightarrow{AH}$，
即为AH²=$\frac{9}{20}$×32+$\frac{1}{10}$×18=$\frac{81}{5}$，
又$\overrightarrow{AO}$²=（$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$）²，
即R²=$\frac{81}{400}$×64+$\frac{1}{100}$×36+（$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$）²HP²+2×$\frac{9}{200}$×$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{81}{5}$+（$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$）²HP²，⑤
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，即有HP²-2HP•R+$\frac{81}{5}$=0，
即为（HP-R）²=R²-$\frac{81}{5}$⑥
由⑤⑥解得R=$\frac{9}{2}$，
则有球O的表面积S=4πR²=81π．
故答案为：81π．

点评 本题考查球的表面积的求法，关键是求得球的半径，同时考查向量的数量积的定义和性质，通过两边取点乘和两边平方法，是解题的重点，具有一定的运算量，属于难题．