Question

8．数列1$\frac{1}{2}$，3$\frac{1}{4}$，5$\frac{1}{8}$，7$\frac{1}{16}$，9$\frac{1}{32}$，…的前n项之和等于${n}^{2}+1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 把数列1$\frac{1}{2}$，3$\frac{1}{4}$，5$\frac{1}{8}$，7$\frac{1}{16}$，9$\frac{1}{32}$，…的前n项之和，分组[1+3+5+…+（2n-1）]+$[\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}]$，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：数列1$\frac{1}{2}$，3$\frac{1}{4}$，5$\frac{1}{8}$，7$\frac{1}{16}$，9$\frac{1}{32}$，…的前n项之和
=[1+3+5+…+（2n-1）]+$[\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}]$
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]}{1-\frac{1}{2}}$
=${n}^{2}+1-\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：${n}^{2}+1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列前n项和公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．