Question

19．已知双曲线的一个焦点与抛物线x²=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{27}=1$
• B． $\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$
• C． $\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{24}=1$
• D． $\frac{{y}^{2}}{24}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．

解答 解：抛物线x²=24y的焦点为（0，6），
即有双曲线的焦点为（0，±6），
设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则c=6，
由渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x．
则有$\frac{a}{b}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又a²+b²=c²，
解得a=3，b=3$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
故选B．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．