Question

10．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，A为抛物线C上的动点，点M（m，0）在x轴上
（1）若点P（0，2），A为线段PF的中点，求抛物线C的方程
（2）当0＜m＜$\frac{9p}{2}$且m≠$\frac{p}{2}$时，求证：∠MAF恒为锐角．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，运用中点坐标公式，求得A的坐标，代入抛物线方程，可得p，进而得到抛物线方程；
（2）设A（x，y），y²=2px，（x＞0），求得向量AF，AM的坐标，求得它们的数量积，化简整理，令f（x）=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，对m讨论，①当0＜m＜$\frac{3}{2}$p时，②当$\frac{3}{2}$p＜m＜$\frac{9}{2}$p时，运用单调性和最小值大于0，即可得证．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
由点P（0，2），A为线段PF的中点，
则A（$\frac{p}{4}$，1），
代入抛物线方程可得，1=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=$\sqrt{2}$，
即有抛物线的方程为y²=2$\sqrt{2}$x；
（2）由F（$\frac{p}{2}$，0），M（m，0），
设A（x，y），y²=2px，（x＞0）
则有$\overrightarrow{AM}$=（m-x，-y），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{p}{2}$-x，-y），
即有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（x-m）（x-$\frac{p}{2}$）+y²=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，
令f（x）=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，
由于m≠$\frac{p}{2}$，则M，F不重合．
①当0＜m＜$\frac{3}{2}$p时，对称轴x=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$p）＜0，
f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）＞f（0）=$\frac{p}{2}$m＞0，
②当$\frac{3}{2}$p＜m＜$\frac{9}{2}$p时，f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$p）＞0，
f（x）的最小值为$\frac{p}{2}$m-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{3}{2}$p）²=$\frac{1}{16}$（20pm-4m2-9p2）
=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{p}{2}$）（m-$\frac{9}{2}$p）＞0成立．
综上可得，当0＜m＜$\frac{9p}{2}$且m≠$\frac{p}{2}$时，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$＞0，且$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AF}$且不共线，
则有∠MAF恒为锐角．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查运用向量的数量积判断夹角为锐角的方法，注意等价条件的运用，属于中档题和易错题．