Question

1．如图，已知动圆M过定点F（1，0）且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，点F′的轨迹为H．
（1）求曲线H的方程；
（2）一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线x=1上的动点．
①求证：∠ACB不可能是钝角；
②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设F′（x，y），则可得M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），圆M的直径为|FF′|=$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$，利用动圆M与y轴相切，即可求得曲线C的方程；
（2）①设直线AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，n），联立直线与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$≥0恒成立，可得结论；
②由①知M（2m²+1，2m），根据CM与AB垂直，斜率积为-1，可得n=2m³+4m，再由|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，求出m值．

解答 解：（1）设F′（x，y），因为点F（1，0）在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F，
则M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），而|FF′|=$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$，
则$\frac{1}{2}$$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x+1|，
化简得：y²=4x，所以曲线C的方程为y²=4x…（5分）
（2）①设直线AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，n）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，
则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2，x₁•x₂=m²y₁•y₂+m（y₁+y₂）+1=1…（7分）
$\overrightarrow{CA}$=（x₁+1，y₁-n），$\overrightarrow{CB}$=（x₂+1，y₂-n），
$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=x₁•x₂+x₁+x₂+1+y₁•y₂-n（y₁+y₂）+n²=（2m-n）²≥0恒成立，
则∠ACB不可能是钝角；…（10分）
②假设存在这样的点C，由①知M（2m²+1，2m）
k_CM•k_AB=$\frac{2m-n}{2{m}^{2}+2}•\frac{1}{m}$=-1，则n=2m³+4m，则C（-1，2m³+4m），
则|CM|=$\sqrt{（2{m}^{2}+2）^{2}+（2{m}^{3}+2m）^{2}}$=2（m²+1）$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
而|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=4（m²+1），由|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|得，m=$±\sqrt{2}$
所以存在点C（-1，$±8\sqrt{2}$）满足条件…（15分）

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．