Question

2．已知函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于$\frac{π}{2}$，若将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（　　）

• A． （-$\frac{π}{3}$，0）
• B． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
又∵函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于$\frac{π}{2}$=$\frac{T}{2}$，
故函数的最小正周期T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=2sin2x的图象，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z，
故函数y=g（x）的减区间为[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z，
当k=0时，区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]为函数的一个单调递减区间，
又∵（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）⊆[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键，属于中档题．