Question

12．若关于x的不等式4a^x-1＜3x-4（a＞0，且a≠1对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 关于x的不等式4a^x-1＜3x-4（a＞0，且a≠1对于任意的x＞2恒成立，即为3x-4-4a^x-1＞0对于任意的x＞2恒成立．令f（x）=3x-4-4a^x-1，即有f（x）的最小值大于0，求出导数，对a讨论，当0＜a＜1时，当a＞1时，判断函数的单调性，求出极值、最值，即可得到a的范围．

解答 解：关于x的不等式4a^x-1＜3x-4（a＞0，且a≠1对于任意的x＞2恒成立，
即为3x-4-4a^x-1＞0对于任意的x＞2恒成立．
令f（x）=3x-4-4a^x-1，即有f（x）的最小值大于0，
f′（x）=3-4a^x-1•lna，
当0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＞0，f（x）在x＞2递增，
即有f（x）＞f（2），
则0≤f（2），即为2-4a≥0，解得a≤$\frac{1}{2}$，则为0＜a≤$\frac{1}{2}$；
当a＞1时，lna＞0，令f′（x）=0的根为x=m，
当x＞m，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＜m，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=m处取得极大值，
若m≥2，则f（x）递减，无最小值，不成立；
若m＜2，则f（x）有最大值，不成立．
综上可得，a的范围为：0＜a≤$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值或范围，同时考查函数的导数的运用，根据函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键．