Question

3．设函数f（x）=|x-3|+|2x-4|-a．
（Ⅰ）当a=6时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜0的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
（2）求出函数的最小值，原问题等价为a＞[|x-3|+|2x-4|]_min，从而求出a的范围；

解答 解：（1）原不等式|x-3|+|2x-4|＞6
当x＜2时，原不等式化为-3x+1＞0，解得x＜$\frac{1}{3}$，∴x＜$\frac{1}{3}$；
当2≤x≤3时，原不等式化为x-7＞0，是∅；
当x＞3时，原不等式化为3x-13＞0，解得x＞$\frac{13}{3}$
综上，原不等式解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{13}{3}$}；
（2）y=|x-3|+|2x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+7，x＜2}\\{x-1，2≤x≤3}\\{3x-7，x＞3}\end{array}\right.$
当x＜2时，y＞1
当2≤x≤3时，1≤y≤2
当x＞3时，y＞2
综上y≥1，原问题等价为a＞[|x-3|+|2x-4|]_min
∴a＞1．

点评 此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．