Question

8．如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD．FC∥EA，G，H分别是AB，EF的中点，EA=AB=2CF=2
（Ⅰ）证明：GH∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明GH∥平面BCE，可找到底面菱形的对角线交点O，连OH，OG，证明平面GHO∥平面BCF，从而得到GH∥平面BCE；
（Ⅱ）把多面体ABCDEF的体积转化为2V_B-ACEF求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AC，BD，设AC∩BD=O，连OH，OG，
∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，
又∵G，H分别为AB，EF的中点，
∴GO∥BC，HO∥CF，
∴平面GHO∥平面BCF，
∵GH?平面GHO，∴GH∥面BCF；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BO，
又BO⊥AC，∴BO⊥面ACEF，
∴V_ABCDEF=2V_B-ACEF=2×$\frac{1}{3}×{S}_{ACEF}×BO$
=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．