Question

11．过点M（2，1）作直线l，交x，y轴于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求使△ABO的面积为4时的直线l的方程；
（2）若A，B两点在x，y轴的正半轴上，求使MB•MB的值为最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程的点斜式，求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形面积等于4求得直线的斜率，待回原直线方程得答案；
（2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N，设∠MAP=α，利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=$\frac{4}{sin2α}$，根据正弦函数的值域可得当α=45°时，|MA|•|MB|=4达到最小值，进而得到此时直线l方程为x+y-3=0．

解答 解：（1）用点斜式来表示该曲线的方程为：y-1=k（x-2）
则可以求得与x、y轴的交点坐标为A（0，-2k+1）、B（2-$\frac{1}{k}$，0）两点，
又∵△ABO的面积S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=4，
得|-2k+1||2-$\frac{1}{k}$|=8，
解得：k=-$\frac{1}{2}$或k=$\frac{3±2\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l的方程为：y=-$\frac{1}{2}$（x-2）+1，或$y=\frac{3±2\sqrt{2}}{2}（x-2）+1$．
化简得：x+2y-4=0或$（3+2\sqrt{2}）x-2y-4-4\sqrt{2}=0$或$（3-2\sqrt{2}）x-2y-4+4\sqrt{2}=0$；
（2）如图，

过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N，
设∠MAP=α，则Rt△MPA中，
sinα=$\frac{|MP|}{|MA|}$，得|MA|=$\frac{|MP|}{sinα}$=$\frac{1}{sinα}$，
同理可得：|MB|=$\frac{2}{cosα}$∴|MA|•|MB|=$\frac{2}{sinαcosα}$=$\frac{4}{sin2α}$∵sin2α∈（0，1]，
∴当2α=90°时，即α=45°时，sin2α=1达到最大值，|MA|•|MB|=$\frac{4}{sin2α}$=4达到最小值，
此时直线l的斜率k=-1，得直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

点评 本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知识，属于中档题