Question

14．若函数f（x）=（a-x）|x-3a|（a＞0）在区间（-∞，b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个，则实数b的值等于（　　）

• A． 2$±\sqrt{2}$
• B． 2-$\sqrt{2}$或6-3$\sqrt{2}$
• C． 6$±3\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$或6+3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出分段函数的解析式，再根据f（b）=f（2a）=3-4a，且b＞3a时，可满足题设条件，问题得以解决．

解答 解：当x＜3a时，f（x）=-（a-x）（x-3a）=x²-4ax+3a²，
当x≥3a时f（x）=（a-x）（x-3a）=-x²+4ax-3a²，
∵a＞0，则仅当f（b）=f（2a）=3-4a，且b＞3a时，可满足题设条件，
结合函数f（x）的图象可知，3-4a=-a²，即a=1或a=3，
当a=1时，-b²+4b-3=-1（b＞3），解得b=2+$\sqrt{2}$
当a=3时，-b²+12b-27=-9（b＞9），解得b=6+3$\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，以及分段函数图象的问题，属于中档题