Question

7．已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²=ac，a+c=$\sqrt{21}$，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{5}{4}$．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）通过cosB求出sinB，利用正弦定理得到sin²B=sinAsinC．通过切化弦，两角和的正弦函数化简，可得sinB，利用sinB即可求cosB；
（2）利用余弦定理，结合条件求出ac，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）∵b²=ac，
∴根据正弦定理可得sin²B=sinAsinC．
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$；
（2）b²=ac=a²+c²-2ac×$\frac{3}{5}$，
∴a²+c²=$\frac{11}{5}$ac，
∵a+c=$\sqrt{21}$，
∴ac=5
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．

点评 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与正弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查计算能力，转化思想的应用．