Question

12．在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（　　）

• A． $\frac{7}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四面体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．

解答 解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是：
（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），
几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，

其正视图的最大投影面是在x-O-y或x-O-z或y-O-z面上，
投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，
∴不可能为$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．