Question

17．已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=AC=$\frac{1}{2}$AD=1，且∠ABC=90°，以AC为折痕使得折叠后的图形中平面DAC⊥平面ABC．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）在棱AB上是否存在点P，使得直线CP与平面ABD所成的角为45°？若存在，请求出线段PB的长度，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点E，连CE，证明DC⊥AC，即可证明DC⊥平面ABC；
（2）确定四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点E，即可求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）以B为原点，建立如图空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量，利用直线CP与平面ABD所成的角为45°，建立方程，即可得出结论．

解答 （1）证明：取AD的中点E，连CE，由条件可知四边形ABCE是正方形，
三角形CED是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+45°=90°
即DC⊥AC…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC…（4分）
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB
又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面DBC，∴AB⊥DB，
即∠ABD=∠ACD=90°，
∴四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点E…（6分）
即四面体ABCD的外接球的半径R=1，故四面体ABCD的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$…（…（8分）
（3）解：以B为原点，建立如图空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D（1，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）…（10分）
设P（0，t，0）（t＞0），则$\overrightarrow{CP}$=（-1，t，0），
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{{t}^{2}+1}}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故存在点P，使得直线CP与平面ABD所成的角为45，且PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查四面体ABCD的外接球的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．