Question

7．已知曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B分别由A、B两点向直线y=x作垂线，垂足为C、D，沿直线y=x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 6π

Answer 1

分析 折叠后的四面体的外接球的半径，就是四面体扩展为长方体，对角线AB的一半就是外接球的半径，求出球的半径即可求出球的表面积．

解答 解：由题意曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B可知，OA=OB=2，
由A，B两点向直线y=x作垂线，垂足为C，D，∴AC=BD=$\sqrt{2}$，
沿直线y=x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，可得三棱锥，三棱锥扩展为长方体，
长方体的对角线AB的一半就是外接球的半径，
∴AB²=AC²+BC²=AC²+CD²+BD²=2+8+2=12，∴R=$\sqrt{3}$，
所求四面体A-BCD的外接球的表面积为4π×（$\sqrt{3}$）²=12π．
故选：B．

点评 本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．