Question

2．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，则球O的表面积为16π．

Answer 1

分析 由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=$\frac{1}{2}$AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积

解答 解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴球O的半径R=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．